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《概率论与数理统计》期末试卷A (精选11)
一、填空题
- 从标有数字 1-10 的 10 张卡片中任取 2 张, 每次取一张, 取后不放回, 则第二次取到标号为偶数的卡片的概率为 ______
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答案： $1/2$ (或 $0.5$)
解析：
第一步：分析样本空间结构
1-10 中偶数为 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$，共 5 个；奇数为 5 个。 不放回抽样。
第二步：分情况讨论（全概率思想）
- 情况 A（第一次取到偶数，第二次取到偶数）：$P_1 = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90}$。
- 情况 B（第一次取到奇数，第二次取到偶数）：$P_2 = \frac{5}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{25}{90}$。
第三步：求和
$P = \frac{20}{90} + \frac{25}{90} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$。
难度: ⭐
考点: #不放回抽样 #全概率计算
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📖 相关公式与知识点:
- 在这类抽样问题中，若不指明第一次结果，则第 $k$ 次取到某类球的概率与第一次相同（抽样等可能性）。
思路分析
这道题可以直接用结论“第 $k$ 次取到偶数的概率等于第一次取到偶数的概率”解题，即 $5/10 = 0.5$。
🔄 举一反三
- 若是有放回抽样，概率是多少？
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答案：$1/2$
解析：有放回独立，每次概率恒为 $5/10 = 0.5$。
- 设事件 $A, B$ 相互独立，且 $P(A) = 0.4, P(B) = 0.5$ ，则 $P(A \cup B) =$ ______
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答案： $0.7$
解析： 由于 $A, B$ 相互独立，故 $P(AB) = P(A)P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$。 根据加法公式：
难度: ⭐ 考点: #独立事件加法
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📖 相关公式与知识点:
- 独立时 $P(AB) = P(A)P(B)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
思路分析
先利用独立性求交集概率，再套加法公式。
🔄 举一反三
- $A,B$ 独立，$P(A)=0.3, P(B)=0.6$，求 $P(A \cup B)$。
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答案：$0.72$
- 设随机变量 $X \sim B(n, p)$ ，已知 $E(X) = 12$ ， $D(X) = 4$ ，则参数 $p =$ ______
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答案： $\frac{2}{3}$
解析： 二项分布的期望与方差公式为：
两式相除得：
难度: ⭐ 考点: #二项分布数字特征
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📖 相关公式与知识点:
- $E(X)=np, D(X)=np(1-p)$
- 两式相除可消去 $n$：$\frac{D(X)}{E(X)} = 1-p$
思路分析
已知期望和方差，联立方程求解 $p$。
🔄 举一反三
- $X \sim B(n,p), E(X)=8, D(X)=4$，求 $p$。
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答案：$0.5$
- 设随机变量 $X \sim P(\lambda)$ （泊松分布），且 $P(X=0) = e^{-2}$ ，则 $P(X=2) =$ ______
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答案： $2e^{-2}$
解析： 泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。 当 $k=0$ 时：
当 $k=2$ 时：
难度: ⭐⭐ 考点: #泊松分布计算
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📖 相关公式与知识点:
- $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
- $P(X=0) = e^{-\lambda}$
思路分析
由 $P(X=0)$ 反推 $\lambda$，再代入 $k=2$ 计算。
🔄 举一反三
- $X \sim P(\lambda), P(X=0)=e^{-3}$，求 $P(X=1)$。
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答案：$3e^{-3}$
- 设随机变量 $X \sim U(1, 5)$ （均匀分布），则方差 $D(X) =$ ______
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答案： $\frac{4}{3}$
解析： 区间 $[a,b]$ 上均匀分布的方差公式为 $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$。 代入 $a=1, b=5$：
难度: ⭐ 考点: #均匀分布方差
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📖 相关公式与知识点:
- $U(a,b)$：$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
思路分析
直接套公式，注意区间长度 $b-a=4$。
🔄 举一反三
- $X \sim U(0,6)$，求 $D(X)$。
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答案：$3$
- 设 $X \sim N(0, 1)$ ，则 $P(X > 1.96) =$ ______ （已知 $\Phi(1.96) = 0.975$）
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答案： $0.025$
解析： 利用正态分布对立事件的性质：
难度: ⭐ 考点: #标准正态分布查表
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📖 相关公式与知识点:
- $P(X > a) = 1 - \Phi(a)$
- $\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$
思路分析
标准正态查表，注意区分单侧和双侧概率。
🔄 举一反三
- $X \sim N(0,1), \Phi(1.645)=0.95$，求 $P(X > 1.645)$。
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答案：$0.05$
- 设 $X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本方差为 $S^2$ ，则期望 $E(S^2) =$ ______
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答案： $\sigma^2$
解析： 根据样本方差的定义，其分母为 $n-1$，是总体方差的无偏估计量。 因此 $E(S^2) = \sigma^2$。
难度: ⭐ 考点: #样本方差无偏性
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📖 相关公式与知识点:
- $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2$
- $E(S^2) = \sigma^2$（无偏估计）
思路分析
分母 $n-1$ 保证了样本方差是总体方差的无偏估计。
🔄 举一反三
- 若用 $\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X})^2$ 估计 $\sigma^2$，其期望是多少？
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答案：$\frac{n-1}{n}\sigma^2$（有偏）
- 设 $X_1, \dots, X_6 \sim N(0, 1)$ 且相互独立，则统计量 $\sum_{i=1}^6 X_i^2 \sim$ ______
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答案： $\chi^2(6)$ （或自由度为 6 的卡方分布）
解析： 卡方分布的定义：$n$ 个独立同分布于 $N(0,1)$ 的随机变量的平方和服从自由度为 $n$ 的卡方分布。 此处 $n=6$，故服从 $\chi^2(6)$。
难度: ⭐ 考点: #卡方分布定义
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📖 相关公式与知识点:
- $X_i \sim N(0,1)$ 独立 $\Rightarrow \sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$
思路分析
卡方分布的定义：独立标准正态的平方和。
🔄 举一反三
- $X_1,\dots,X_4 \sim N(0,1)$ 独立，$\sum X_i^2$ 服从什么分布？
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答案：$\chi^2(4)$
- 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ， $\sigma^2$ 已知。在置信度为 $1-\alpha$ 下，均值 $\mu$ 的置信区间半长（误差限）为 ______
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答案： $z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
解析： 方差已知时，总体均值的置信区间为 $[\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$。 其半长即为 $z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #区间估计误差限
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📖 相关公式与知识点:
- $\sigma^2$ 已知时，$\mu$ 的置信区间：$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- 误差限 = $z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
思路分析
误差限由置信水平、总体标准差和样本量共同决定。
🔄 举一反三
- $\sigma=2, n=25, \alpha=0.05$，求误差限。
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答案：$0.784$
- 在关于总体方差 $\sigma^2$ 的双侧假设检验中，其拒绝域形式为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 ______
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答案： $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$
解析： 方差检验统计量服从 $\chi^2(n-1)$ 分布，双侧检验拒绝域分布在概率密度的两侧极端区域。
难度: ⭐⭐ 考点: #双侧检验拒绝域
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📖 相关公式与知识点:
- 方差检验统计量：$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$
- 双侧拒绝域：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}$
思路分析
卡方分布不对称，双侧临界值需分别查表。
🔄 举一反三
- $n=20, \alpha=0.05$，双侧方差检验的临界值如何查表？
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答案：$\chi^2_{0.025}(19)$ 和 $\chi^2_{0.975}(19)$
二、综合解答题 (共 80 分)
- (8 分) 设某段公路上经过的货车与客车数量之比为 1:2，已知货车中途停车修理的概率为 3/20，客车为 3/40。今有一辆车中途停车修理，求它是货车的概率是多少？
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解析：
设事件 $A_1$ 为“经过的是货车”，$A_2$ 为“经过的是客车”。事件 $B$ 为“车辆中途停车修理”。 由题意：$P(A_1) = 1/3, P(A_2) = 2/3$。 $P(B|A_1) = 3/20, P(B|A_2) = 3/40$。
求 $P(A_1|B)$。根据贝叶斯公式： $P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)}$$= \frac{3/20 \times 1/3}{3/20 \times 1/3 + 3/40 \times 2/3} = \frac{1/20}{1/20 + 1/20} = \frac{1/20}{2/20} = \frac{1}{2}$。
难度: ⭐⭐
考点: #贝叶斯公式 #全概率公式
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思路分析
这是一个典型的“已知结果（修车），追溯原因（货车）”的概率问题。
- (10 分) 已知随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $D: 0 < x < 1, 0 < y < 2x$ 上的均匀分布。 (1) 求 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数；
(2) 判断 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立；
(3) 求边缘密度 $f_Y(y)$。
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解析：
(1) 联合密度： 区域 $D$ 是底为 1，高为 2 的三角形，面积 $S = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$。 故 $f(x, y) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, 0 < y < 2x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
(2) 独立性判断： 求边缘密度 $f_X(x) = \int_0^{2x} 1 dy = 2x, (0 < x < 1)$。 求边缘密度 $f_Y(y) = \int_{y/2}^1 1 dx = 1 - y/2, (0 < y < 2)$。 显然 $f_X(x)f_Y(y) \neq f(x, y)$，故 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。
(3) 边缘密度 $f_Y(y)$： 见上步，$f_Y(y) = \begin{cases} 1 - y/2, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
难度: ⭐⭐
考点: #二维均匀分布 #边缘密度 #独立性判定
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📖 相关公式与知识点:
- 均匀分布密度 = 1/区域面积
- 独立性：$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
思路分析
先求面积得联合密度，再积分求边缘密度，最后比较乘积。
🔄 举一反三
- $(X,Y)$ 在 $[0,1]^2$ 上均匀，判断独立性。
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答案：独立（矩形区域均匀分布必独立）。
- (10 分) 设某种元件的寿命 $X \sim N(\mu, 5000)$。现随机抽取一容量为 26 的样本，测得其样本方差 $s^2 = 2800$。在显著性水平 $\alpha = 0.1$ 下，可否认为寿命的波动性较以往有显著变化？ (已知 $\chi^2_{0.05}(25) = 37.652, \chi^2_{0.95}(25) = 14.611$)
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解析：
第一步：假设
$H_0: \sigma^2 = 5000, H_1: \sigma^2 \neq 5000$。
第二步：统计量选择与计算
采用卡方统计量：$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$。 $\chi^2 = \frac{25 \times 2800}{5000} = \frac{25 \times 28}{50} = \frac{28}{2} = 14$。
第三步：决策
双侧检验拒绝域为：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$。 这里 $\chi^2_{0.95}(25) = 14.611, \chi^2_{0.05}(25) = 37.652$。 测得 $\chi^2 = 14 < 14.611$，落入拒绝域。 结论：在显著性水平 $0.1$ 下，拒绝 $H_0$，即认为波动性较以往有显著变化。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #假设检验 #单总体方差检验 #卡方分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$
- 双侧检验需查两个临界值
思路分析
方差检验用卡方统计量，注意卡方分布不对称，双侧临界值不同。
🔄 举一反三
- $n=16, s^2=9, H_0: \sigma^2=4$，求 $\chi^2$ 统计量值。
查看练习答案与解析
答案：$33.75$
- (12 分) (1) 设 $X \sim U(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，求 $Y = \sin X$ 的概率密度函数。
(2) 设 $X \sim N(1, 9), Y \sim N(-1, 4)$ 且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $P(X - 2Y > 3)$。
查看答案与解析
解析：
(1) 函数变换： $f_X(x) = \frac{1}{\pi}, x \in (-\pi/2, \pi/2)$。 $F_Y(y) = P(\sin X \leq y) = P(X \leq \arcsin y) = \frac{\arcsin y - (-\pi/2)}{\pi} = \frac{\arcsin y}{\pi} + \frac{1}{2}$。 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}(\frac{\arcsin y}{\pi} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}, (-1 < y < 1)$。
(2) 正态分布线性组合： 令 $W = X - 2Y$。由于 $X, Y$ 独立且服从正态分布，则 $W$ 仍服从正态分布。 $E(W) = E(X) - 2E(Y) = 1 - 2(-1) = 3$。 $D(W) = D(X) + (-2)^2 D(Y) = 9 + 4 \times 4 = 25 \Rightarrow \sigma_W = 5$。 故 $W \sim N(3, 25)$。 $P(X - 2Y > 3) = P(W > 3) = P(\frac{W-3}{5} > \frac{3-3}{5}) = P(Z > 0) = 0.5$。
难度: ⭐⭐
考点: #随机变量函数密度 #正态分布线性性质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 分布函数法：$F_Y(y)=P(g(X) \leq y)$
- 正态线性组合仍为正态：$aX+bY \sim N(a\mu_X+b\mu_Y, a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2)$（独立时）
思路分析
(1) 用分布函数法求导；(2) 利用正态分布的可加性。
🔄 举一反三
- $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ 独立，求 $P(X+Y > 0)$。
查看练习答案与解析
答案：$0.5$
- (8 分) 某校 400 名学生，每人以 $80\%$ 概率去图书馆。由中心极限定理估计，该馆应至少设多少座位，才能以 $95\%$ 以上概率保证有座？ (已知 $\Phi(1.645) = 0.95$)
查看答案与解析
解析：
设 $X$ 为去图书馆的学生人数，则 $X \sim B(400, 0.8)$。 $E(X) = 400 \times 0.8 = 320$。 $D(X) = 400 \times 0.8 \times 0.2 = 64 \Rightarrow \sigma = 8$。
由中心极限定理，需找 $N$ 使得 $P(X \leq N) \geq 0.95$。 $P(X \leq N) \approx \Phi(\frac{N - 320}{8}) \geq 0.95$。 由 $\Phi(1.645) = 0.95$，得： $\frac{N - 320}{8} \geq 1.645$$N \geq 320 + 8 \times 1.645 = 320 + 13.16 = 333.16$。 故应至少设 334 个座位。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #中心极限定理 #二项分布的正态近似
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $B(n,p)$ 近似 $N(np, np(1-p))$
- 反查正态表：由概率反推分位数
思路分析
先求期望和方差，标准化后用正态表反查分位数，再解出 $N$。
🔄 举一反三
- $n=100, p=0.5$，以 $95\%$ 概率保证，最多多少人？
查看练习答案与解析
答案：$59$
- (10 分) 设某种零件的长度服从正态分布 $N(\mu, 0.04)$。现从生产的一批零件中随机抽取 9 个，测得样本均值为 $\bar{x} = 2.14$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，能否认为这批零件的平均长度为 2.00？ （已知 $Z_{0.025} = 1.96$）
查看答案与解析
答案： 不能认为平均长度为 2.00。
解析：第一步：建立假设
第二步：选择并计算检验统计量 由于总体方差 $\sigma^2 = 0.04$ 已知（即 $\sigma = 0.2$），采用 $U$ 检验统计量：
代入数据 $n=9, \bar{x}=2.14, \sigma=0.2, \mu_0=2.00$：
第三步：做出决策 显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$。 拒绝域为 $|U| > 1.96$。 因为 $|U| = 2.10 > 1.96$，所以检验统计量落入拒绝域中。 结论：在 $\alpha=0.05$ 的显著性水平下，拒绝原假设 $H_0$。即不能认为这批零件的平均长度为 2.00。
难度: ⭐⭐ 考点: #单总体均值检验 #U检验
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\sigma^2$ 已知时用 $U$ 检验：$U = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
- 拒绝域：$|U| > z_{\alpha/2}$
思路分析
方差已知用 U 检验，计算统计量后与临界值比较。
🔄 举一反三
- $\sigma=1, n=16, \bar{x}=5.5, H_0: \mu=5$，求 $U$ 值。
查看练习答案与解析
答案：$2$
- (12 分) 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且均服从区间 $[0, 1]$ 上的均匀分布。令 $Z = \max(X, Y)$。 （1）求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$； （2）求 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$； （3）求期望 $E(Z)$。
查看答案与解析
答案： (1) $F_Z(z) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & z < 0 \\ z^2, & 0 \leq z < 1 \\ 1, & z \geq 1 \end{array} \right.$ (2) $f_Z(z) = \left\{ \begin{array}{ll} 2z, & 0 \leq z < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ (3) $E(Z) = \frac{2}{3}$
解析：第一步：求分布函数 $F_Z(z)$ 由独立性可知：
由于 $X, Y \sim U[0, 1]$，它们的分布函数均为：
故：
- 当 $z < 0$ 时，$F_Z(z) = 0$。
- 当 $0 \leq z < 1$ 时，$F_Z(z) = z \cdot z = z^2$。
- 当 $z \geq 1$ 时，$F_Z(z) = 1 \cdot 1 = 1$。
第二步：求概率密度 $f_Z(z)$ 对分布函数求导：
第三步：求期望 $E(Z)$
难度: ⭐⭐ 考点: #最大值分布 #期望积分
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $F_{\max}(z) = [F(z)]^n$（独立同分布时）
- $E(Z) = \int z f_Z(z) dz$
思路分析
利用独立性将最大值分布函数转化为各分量分布函数的乘积。
🔄 举一反三
- $X,Y \sim U[0,1]$ 独立，求 $W=\min(X,Y)$ 的密度。
查看练习答案与解析
答案：$f_W(w)=2(1-w), 0<w<1$
- (10 分) 设 $X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，已知 $E(X) = \mu, D(X) = \sigma^2$。给出 $\mu$ 的两个估计量：$$\hat{\mu}_1 = \bar{X}, \quad \hat{\mu}_2 = \frac{X_1 + X_n}{2}$$（1）证明 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 都是 $\mu$ 的无偏估计量； （2）比较两者的方差，说明哪一个更有效； （3）判断 $\hat{\mu}_2$ 是否为 $\mu$ 的一致（相合）估计量。
查看答案与解析
答案： (1) 见解析。 (2) $\hat{\mu}_1$ 更有效。 (3) 不是一致估计量。
解析：第一步：证明无偏性
- 对于 $\hat{\mu}_1$：$$E(\hat{\mu}_1) = E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$$
- 对于 $\hat{\mu}_2$：$$E(\hat{\mu}_2) = E\left(\frac{X_1 + X_n}{2}\right) = \frac{E(X_1) + E(X_n)}{2} = \frac{\mu + \mu}{2} = \mu$$
故两者均为无偏估计量。
第二步：方差比较（有效性）
- $D(\hat{\mu}_1) = D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。
- $D(\hat{\mu}_2) = D\left(\frac{X_1 + X_n}{2}\right) = \frac{1}{4}[D(X_1) + D(X_n)] = \frac{\sigma^2 + \sigma^2}{4} = \frac{\sigma^2}{2}$。 当 $n > 2$ 时，$\frac{\sigma^2}{n} < \frac{\sigma^2}{2}$，即 $D(\hat{\mu}_1) < D(\hat{\mu}_2)$。 因此，$\hat{\mu}_1$ 比 $\hat{\mu}_2$ 更有效。
第三步：一致性（相合性）判定 一致估计量要求当 $n \to \infty$ 时，估计量以概率收敛于真值。 根据切比雪夫不等式，若无偏估计量的方差在 $n \to \infty$ 时趋近于 0，则为一致估计量。
- $\lim_{n \to \infty} D(\hat{\mu}_1) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n} = 0$，故 $\hat{\mu}_1$ 是一致估计量。
- 而 $D(\hat{\mu}_2) = \frac{\sigma^2}{2}$ 不随 $n$ 变化，$\lim_{n \to \infty} D(\hat{\mu}_2) = \frac{\sigma^2}{2} \neq 0$。 故 $\hat{\mu}_2$ 不是一致估计量。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #无偏性 #有效性 #一致估计量
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 无偏性：$E(\hat{\theta}) = \theta$
- 有效性：方差越小越有效
- 一致性：$\lim_{n\to\infty} D(\hat{\theta}) = 0$
思路分析
无偏看期望，有效比方差，一致看方差是否趋于 0。
🔄 举一反三
- $\hat{\mu}_3 = X_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计吗？一致吗？
查看练习答案与解析
答案：无偏但不一致（$D(X_1)=\sigma^2$ 不趋于 0）。